સદિશો $i + j + k$ અને $i + j$ બંનેને લંબ સદિશ કયો છે?

ધારો કે સદિશો $a, b, c$ અને $d$ એવા છે કે જેથી $(a \times b) \times (c \times d) = 0$ થાય. ધારો કે $P_1$ અને $P_2$ એ અનુક્રમે સદિશોની જોડી $(a, b)$ અને $(c, d)$ દ્વારા નિર્ધારિત સમતલો છે. તો $P_1$ અને $P_2$ વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો હશે?

ધારો કે $\vec{a}=2 \hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=-\hat{i}+\hat{k}$,અને $\vec{c}=\beta \hat{j}-\hat{k}$,જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ પૂર્ણાંકો છે અને $\alpha \beta=-6$ છે. ધારો કે જે ક્રમયુક્ત જોડી $(\alpha, \beta)$ માટે વિકર્ણો $\vec{a}+\vec{b}$ અને $\vec{b}+\vec{c}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{21}}{2}$ હોય,તે $(\alpha_1, \beta_1)$ અને $(\alpha_2, \beta_2)$ છે. તો $\alpha_1^2+\beta_1^2-\alpha_2 \beta_2$ ની કિંમત શોધો.

એક ચતુષ્ફલક (tetrahedron) ના શિરોબિંદુઓ $P(1, 2, 1)$,$Q(2, 1, 3)$,$R(-1, 1, 2)$ અને $O(0, 0, 0)$ છે. ફલકો $OPQ$ અને $PQR$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

$3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$ ને લંબ અને $2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ તથા $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ સાથે સમતલીય હોય તેવા એકમ સદિશો કયા છે?

$a, b, c, d$ એ સમતલીય સદિશો છે, તો $(a \times b) \times (c \times d)$ ની કિંમત શું થાય?